Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知函數，其中為常數．

（1）當時，求函數圖像的頂點坐標（用含的代數式表示）；

（2）當y最大值為1時，且，求整數的值；

（3）當直線與函數的圖像只有一個公共點時，求的取值范圍；

（4）設點在軸上，點在軸上的正半軸上，已知點，以為邊做正方形，當函數的圖像與正方形的邊有兩個公共點時，直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或或；（3）或；（4）或或

【解析】

（1）把函數配方成頂點式即可求得；

（2）分兩類情況：當時, ，當時，，結合，即可算出n的值；

（3）分兩類情況：當時，交點即是拋物線的頂點，當時，滿足即可；

（4）數形結合的方法，看兩個交點在哪些邊上，分類討論，結合點的坐標即可算出n的取值范圍．

（1）

所以當時，頂點坐標為

(2) 當時, ;

當時，

且是整數

所以或或

（3）當時, 交點即是拋物線的頂點，，如圖①

解得：（舍去），

當時，滿足即可，解得如圖②

綜上得，n的取值范圍是或

(4)

當兩個交點都在AC上時，如圖③，則經過C點（2n，2n），得：；

當一個交點在OA上，一個交點在BC上時，如圖④，則頂點在AC之下，即：；

當交點在OB和BC上時，則，且拋物線在B點下方，如圖⑥即：或（舍去），

綜上可得，n的取值范圍是：或或．