Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣ x2+bx+c經過A（﹣1，0），B（0，2）兩點，將△OAB繞點B逆時針旋轉90°后得到△O′A′B′，點A落到點A′的位置．

（1）求拋物線對應的函數關系式；
（2）將拋物線沿y軸平移后經過點A′，求平移后所得拋物線對應的函數關系式；
（3）設（2）中平移后所得拋物線與y軸的交點為C，若點P在平移后的拋物線上，且滿足△OCP的面積是△O′A′P面積的2倍，求點P的坐標；
（4）設（2）中平移后所得拋物線與y軸的交點為C，與x軸的交點為D，點M在x軸上，點N在平移后所得拋物線上，直接寫出以點C，D，M，N為頂點的四邊形是以CD為邊的平行四邊形時點N的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，把A（﹣1，0），B（0，2）兩點坐標代入y=﹣ x2+bx+c得：

，

解得： ，

∴拋物線對應的函數關系式：y=﹣ x2+ x+2

（2）

解：如圖2，∵A（﹣1，0），B（0，2），

∴OA=1，OB=2，

由旋轉得：O′B=OB=2，O′A′=OA=1，且旋轉角∠OBO′=90°，

∴O′（2，2），A′（2，1），

所以由原拋物線從O′平移到A′可知，拋物線向下平移1個單位，

∴平移后所得拋物線對應的函數關系式：y=﹣ x2+ x+1

（3）

解：設P（a，﹣ a2+ a+1），

y=﹣ x2+ x+1，

當x=0時，y=1，

∴OC=A′O′=1，

根據點A（2，2）可分三種情況：

①當a＞2時，如圖3，

∵S△OCP=2S△O′A′P，

∴ ×1×a=2× ×1×（a﹣2），

a=4，

則y=﹣ a2+ a+1=﹣ ×42+ ×4+1=﹣ ，

∴P（4，﹣ ），

②當0＜a＜2時，如圖4，

∵S△OCP=2S△O′A′P，

∴ ×1×a=2× ×1×（2﹣a），

a= ，

則y=﹣ a2+ a+1=﹣ × 2+ × +1= ，

∴P（ ， ），

③當a＜0時，如圖5，

同理得： ×1×（﹣a）=2× ×（﹣a+2），

a=4（不符合題意，舍），

綜上所述，點P的坐標為（4，﹣ ）或（ ， ）

（4）

解：設N（m，﹣ m2+ m+1），

如圖6，過N作NE⊥x軸于E，

∵四邊形CMND是平行四邊形，

∴CD∥MN，CD=MN，

∴∠CDO=∠MEN，

∵∠COD=∠MEN=90°，

∴△COD≌△NEM，

∴EN=CO，

∴ m2﹣ m﹣1=1，

解得：m=3或﹣1，

當m=3時，y=﹣1，

當m=﹣1時，y=﹣1，

∴N（3，﹣1）或（﹣1，﹣1），

如圖7就是點N（﹣1，﹣1）時，所成的平行四邊形；

如圖8和如圖9，

∵四邊形CDMN是平行四邊形，

∴CN∥DM，

∴點C與點N是對稱點，

∵C（0，1），對稱軸是x=﹣ =1，

∴N（2，1），

綜上所述，點N的坐標為（3，﹣1）或（﹣1，﹣1）或（2，1）．

【解析】（1）如圖1，利用待定系數法求二次函數的關系式；（2）如圖2，根據旋轉得出點O′（2，2），A′（2，1），知道原拋物線從向下平移1個單位得到新拋物線，根據原拋物線的關系式可以寫出新拋物線的函數關系式；（3）設P（a，﹣ a2+ a+1），根據點P的位置和A′的橫坐標2可以分為三種情況：①當a＞2時，如圖3，②當0＜a＜2時，如圖4，③當a＜0時，如圖5，分別根據S△OCP=2S△O′A′P ， 列等式求出a的值，并求出對應P的坐標；（4）如圖6，因為點N在平移后所得拋物線上，所以設N（m，﹣ m2+ m+1），作輔助線，構建全等三角形，發現點N的縱坐標的絕對值為1，由此列式為： m2﹣ m﹣1=1，解出m的值，求出點N的坐標．同理如圖7得出點N的坐標．
如圖8和9，點C與點N是對稱點，根據點C的坐標求點N的坐標．
【考點精析】認真審題，首先需要了解二次函數的圖象(二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點)，還要掌握二次函數的性質(增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小)的相關知識才是答題的關鍵．