Question

【題目】如圖，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的頂點E與△ABC的斜邊BC的中點重合．將△DEF繞點E旋轉，旋轉過程中，線段DE與線段AB相交于點P，射線EF與線段AB相交于點G，與射線CA相交于點Q．

（1）求證：△BPE∽△CEQ；
（2）求證：DP平分∠BPQ；
（3）當BP=a，CQ= a，求PQ長（用含a的代數式表示）．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△ABC和△DEF是兩個全等的等腰直角三角形，

∴∠B=∠C=∠DEF=45°，

∵∠BEQ=∠EQC+∠C，

即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，

∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，

∴∠BEP=∠EQC，

∵∠B=∠C=45°，

∴△BPE∽△CEQ，

（2）解：∵△BPE∽△CEQ，

∴ = ，

∵CE=BE，

∴ = ，

∵∠B=∠DEF=45°，

∴△BPE∽△EPQ，

∴∠BPE=∠EPQ，

∴∠DPB=∠DPQ，

∴DP平分∠BPQ．

（3）解：∵△BPE∽△CEQ，

∴ = ，

∵BP=a，CQ= a，BE=CE，

∴ = ，

∴BE=CE= a，

∴BC=3 a，

∴AB=AC=BCsin45°=3a，

∴AQ=CQ﹣AC= a，PA=AB﹣BP=2a，

在Rt△APQ中，PQ= = a．

【解析】（1）由△ABC和△DEF是兩個全等的等腰直角三角形，得出∠B=∠C=∠DEF=45°，由因∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，所以∠BEP=∠EQC，從而推出△BPE∽△CEQ；
（2） 由相似三角形對應邊成比例得出=,又因CE=BE，從而=,又∠B=∠DEF=45°，故△BPE∽△EPQ，根據相似三角形對應角相等得出∠BPE=∠EPQ，從而得出結論；
（3）由相似三角形對應邊成比例得出=,從而求出BE=CE= a，BC=3 a，根據銳角三角函數及勾股定理得出結論。

【考點精析】關于本題考查的角的平分線判定和全等三角形的性質，需要了解可以證明三角形內存在一個點，它到三角形的三邊的距離相等這個點就是三角形的三條角平分線的交點(交于一點)；全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等才能得出正確答案．