Question

21、如圖，過矩形ABCD的對角線AC的中點O作EF⊥AC交AD于E，交BC于F，連接AF、EC．
（1）試判斷四邊形AFCE的形狀，并證明你的結論；
（2）若CD=4，BC=8，求S_{四邊形AFCE}的值．

Answer 1

分析：（1）有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．根據圖形很容易證出△AOF≌△COF，進而證得四邊形AFCE是平行四邊形，又證AE=CE，因而?AFCE是菱形．
（2）先設CF=x，那么BF=8-x，在Rt△ABF中，利用勾股定理可求出CF=5，所以S菱形AFCE=CF×AB=20．

解答：解：（1）菱形．
∵EF垂直平分AC，
∴OA=OC，AE=CE．
而∠AOE=∠COF，
又∵ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEO=∠CFO，
∴△AOF≌△COF，
∴AE=CF
又AE∥CF
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
∴?AFCE是菱形．

（2）先設CF=x，那么BF=8-x，
由（1）知AF=CF，
故CF=x，
在Rt△ABF中，AB²+BF²=AF²，即（8-x）²+4²=x²，解得，x=5，
所以S菱形AFCE=CF×AB=20．

點評：本題利用了菱形的判定（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形），還有全等三角形的判定和性質及勾股定理、菱形面積公式的計算等問題．