Question

【題目】如圖，是正方形的邊的中點，的垂直平分線分別交、于、，若，則的長為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

連接AG、EG，設CE=x，則AB=BC=2x，BG=2x-7，根據線段垂直平分線的性質得出AG=EG，根據勾股定理得出方程，解方程即可求出CE，從而得到AD，DE，BG，算出AG，再根據勾股定理可得GH.

解：連接AG、EG，如圖所示：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，
∵E是正方形ABCD的邊CD的中點，
∴CE=CD，
設CE=x，則AB=BC=2x，BG=2x-7，
∵AE的垂直平分線分別交AE、BC于H、G，
∴AG=EG，
在Rt△AGH和Rt△EGH中，
根據勾股定理得：AG2=AB2+BG2，EG2=CE2+CG2，
∴（2x）2+（2x-7）2=x2+72，
解得：x=4，即CE=4=DE，

∴AB=8=AD，BG=1，

∴AE=，

∴AH=，

∵AG=，

∴GH=.

故答案為：.