Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，點C為AB延長線上一點，動點P從點A出發沿AC方向以lcm/s的速度運動，同時動點Q從點C出發以相同的速度沿CA方向運動，當兩點相遇時停止運動，過點P作AB的垂線，分別交⊙O于點M和點N，已知⊙O的半徑為l，設運動時間為t秒．
（1）若AC=5，則當t=時，四邊形AMQN為菱形；當t=時，NQ與⊙O相切；
（2）當AC的長為多少時，存在t的值，使四邊形AMQN為正方形？請說明理由，并求出此時t的值．

Answer 1

【答案】
（1）；
（2）解：當AC的長為3時，存在t=1，使四邊形AMQN為正方形．理由如下：

∵四邊形AMQN為正方形．

∴∠MAN=90°，

∴MN為⊙O的直徑，

而∠MQN=90°，

∴點Q在⊙O上，

∴AQ為直徑，

∴點P在圓心，

∴MN=AQ=2，AP=1，

∴t=AP=1，CQ=t=1，

∴AC=AQ+CQ=2+1=3

【解析】解：（1）AP=t，CQ=t，則PQ=5﹣2t， ∵NM⊥AB，
∴PM=PN，
∴當PA=PQ時，四邊形AMQN為菱形，即t=5﹣2t，解得t= ；
當∠ONQ=90°時，NQ與⊙O相切，如圖，

OP=t﹣1，OQ=AC﹣OA﹣QC=5﹣1﹣t=4﹣t，
∵∠NOP=∠QON，
∴Rt△ONP∽Rt△OQN，
∴ ，即 = ，
整理得t2﹣5t+5=0，解得t1= ，t2= （1≤t≤2.5，故舍去），
即當t= 時，NQ與⊙O相切；
所以答案是 ， ；
【考點精析】本題主要考查了菱形的判定方法和正方形的判定方法的相關知識點，需要掌握任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形；先判定一個四邊形是矩形，再判定出有一組鄰邊相等；先判定一個四邊形是菱形，再判定出有一個角是直角才能正確解答此題．