Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，對角線BD的垂直平分線MN與AD相交于點M，與BC相交于點N．連接BM，DN．

(1)求證：四邊形BMDN是菱形；

(2)若AB=4，AD=8，求MD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）MD長為5．

【解析】

（1）利用矩形性質，證明BMDN是平行四邊形，再結合MN⊥BD，證明BMDN是菱形．

（2）利用BMDN是菱形，得BM=DM，設，則，在中使用勾股定理計算即可．

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠A=90°，

∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，

∵BD的垂直平分線MN

∴BO=DO，

∵在△DMO和△BNO中

∠MDO=∠NBO，BO=DO，∠MOD=∠NOB

∴△DMO ≌ △BNO（AAS），

∴OM=ON，

∵OB=OD，

∴四邊形BMDN是平行四邊形，

∵MN⊥BD

∴BMDN是菱形

（2）∵四邊形BMDN是菱形，

∴MB=MD，

設MD=x，則MB=DM=x，AM=(8-x)

在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2

即x2=（8-x）2+42，

解得：x=5

答：MD長為5．