Question

【題目】綜合與實踐—探究正方形旋轉中的數學問題

問題情境:已知正方形中，點在邊上，且.將正方形繞點順時針旋轉得到正方形（點，，，分別是點，，，的對應點）.同學們通過小組合作，提出下列數學問題，請你解答.

特例分析:（1）“樂思”小組提出問題:如圖1，當點落在正方形的對角線上時，設線段與交于點.求證:四邊形是矩形；

（2）“善學”小組提出問題:如圖2，當線段經過點時，猜想線段與滿足的數量關系，并說明理由；

深入探究:（3）請從下面，兩題中任選一題作答.我選擇題.

A.在圖2中連接和，請直接寫出的值.

B.“好問”小組提出問題:如圖3，在正方形繞點順時針旋轉的過程中，設直線交線段于點.連接，并過點作于點.請在圖3中補全圖形，并直接寫出的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）A.，B..

【解析】

（1）根據旋轉性質證得，從而證得緒論；

（2）連接、，過點作，根據旋轉性質結合三角形三線合一的性質證得，再證得四邊形是矩形，從而求得結論；

（3）A. 設，根據旋轉性質結合兩邊對應成比例且夾角相等證得，利用相似三角形對應邊成比例再結合勾股定理即可求得答案；

B. 作交直線于點，根據旋轉性質利用AAS證得，證得OP是線段的中垂線，根據旋轉性質結合兩邊對應成比例且夾角相等證得，利用相似三角形對應高的比等于相似比再結合勾股定理即可求得答案；

（1）由題意得：，，

由旋轉性質得：，

∵

四邊形是矩形

（2）連接、，過點作于N，

由旋轉得：，

∵，

，

∵ON⊥D，∠=∠，

∴四邊形是矩形，

∴，

∴；

（3）A.如圖，連接，，，

由旋轉的性質得：∠BO=∠，BO= O，，

∴，

∴，

，

，

設，則，

B.如圖，過點作AG∥交直線于點G，過點O作交直線于點，連接OP，

∵AG∥，

，

四邊形是正方形 ，

由旋轉可知： ，，，，，

，，，

，

，

，

，

在和中，

，

，

又∵，

，

，，，

，

，

又∵，，

，

， ，

設，則，，

在中，由勾股定理可得：

，

．