Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝5，AB＝12，∠BAC的平分線與BC的垂直平分線DG交于點D，DE⊥AC的延長線于點E，DF⊥AB于點F．

（1）求證：CE＝BF；

（2）求DG的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）6.5

【解析】

（1）要證明CE＝BF，只要證明△DEC≌△DFB即可，根據題目中的條件和角平分線的性質可以得到兩個三角形全等，從而可以證明結論成立；
（2）根據∠BAC＝90°，AC＝5，AB＝12，可以求得BC的長，再根據DG垂直平分BC和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可以求得DG的長．

（1）證明：連接DC、DB，

∵DE⊥AC，DF⊥AB，AD平分∠CAB，

∴DE＝DF，∠DEC＝∠DFB＝90°，

∵DG垂直平分BC，

∴DC＝DB，

在Rt△DEC和Rt△DFB中，

DC=DB，DE=DF，

∴Rt△DEC≌Rt△DFB（HL）

∴CE＝BF；

（2）∵∠BAC＝90°，AC＝5，AB＝12，

∴BC＝＝13，

由（1）知Rt△DEC≌Rt△DFB，

則∠EDC＝∠FDB，

∵∠BAC＝∠DEC＝∠DFA＝90°，

∴∠EDF＝90°，

∴∠EDC+∠CDF＝90°，

∴∠FDB+∠CDF＝90°，

∴∠CDB＝90°，

∵BC＝13，DG垂直平分BC，

∴DG＝6.5．