Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，BC=．點D從B點開始運動到C點結束（點D和B、C均不重合），DE交AC于E，∠ADE=45°，當△ADE是等腰三角形時，AE的長度為__________．

Answer 1

【答案】1或4-2

【解析】

分類討論：當EA=ED，△ADE為等腰三角形，由∠ADE=45°得到∠EAD=45°，∠AED=90°，則AD平分∠BAC，AD⊥BC，DE⊥AC，然后根據等腰直角三角形的性質得到DE=AC=1；當DA=DE，△ADE為等腰三角形，由∠ADE=45°得到∠ADB+∠EDC=180°-45°=135°，而∠EDC+∠DEC=135°，所以∠ADB=∠DEC，根據三角形相似的判定得到△ABD∽△DCE，則BD：CE=AB：DC=AD：DE，利用AD=DE得到AB=DC=2，BD=CE；由于∠BAC=90°，AB=AC=2，根據等腰直角三角形的性質得BC=2，所以BD=2-2=EC，然后根據AE=AC-EC進行計算．

解：當EA=ED，△ADE為等腰三角形，

∵∠ADE=45°，

∴∠EAD=45°，∠AED=90°，

∵∠BAC=90°，

∴AD平分∠BAC，AD⊥BC，DE⊥AC，如圖1，

∵AB=AC=2，

∴DE=AC=1；

當DA=DE，△ADE為等腰三角形，如圖2

∵∠ADE=45°，

∴∠ADB+∠EDC=180°-45°=135°，

而∠EDC+∠DEC=135°，

∴∠ADB=∠DEC，

而∠B=∠C，

∴△ABD∽△DCE，

∴BD：CE=AB：DC=AD：DE，

而AD=DE，

∴AB=DC=2，BD=CE，

∵BC=2，

∴BD=2-2=EC，

∴AE=AC-EC=2-（2-2）=4-2．

故答案為1或4-2．