Question

【題目】如圖，拋物線交x軸于A、B兩點（點A在點B的左側），．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）如圖①，連接BC，點P在拋物線上，且∠BCO=∠PBA．求點P的坐標

（3）如圖②，M是拋物線上一點，N為射線CB上的一點，且M、N兩點均在第一象限內，B、N是位于直線AM同側的不同兩點，，點M到軸的距離為2L，△AMN的面積為5L，且∠ANB=∠MBN，請問MN的長是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P 或；（3）MN的為定值，定值為5

【解析】

（1）由函數解析式可確定A(,0），B，再由；列出關于的方程即可求解；

（2）作線段BC的垂直平分線交軸于點D，此時DC=DB，構造∠ODB=2∠BCO=∠PBA，將∠BCO=∠PBA條件轉化為，然后設P，根據列方程求解即可；

（3）由已知可求得，從而可得，進而可得點B、N到直線AM的距離相等，所以∥BN，再證明（ASA）即可得到MN=AB=5．

解：（1）把代入拋物線，得或，

∵點A在點B的左側，

∴A(,0），B，

∵，

∴，

∴，

∴拋物線的函數表達式為：；

（2）如圖③，作線段BC的垂直平分線交軸于點D，此時DC=DB，

∵DC=DB，

∴∠DCB=∠DBC，

∴∠ODB=∠DCB+∠DBC=2∠BCO，

∵∠BCO=∠PBA，

∴∠PBA=2∠BCO，

∴∠ODB=∠PBA，

∴，

設P，DC=DB=，

∵，，

∴,，

∴，

在中，解得，

∴．

∵，

∴，即，解得，

∴或，

∴點P的坐標為或；

（3）MN的為定值，定值為5；

∵，點M到軸的距離為2L，

∴，

∵，

∴，

∵和有同底AM，

∴點B、N到直線AM的距離相等，

∴∥BN，

∴∠MAN=∠ANB，∠AMB=∠MBN，∠ABC=∠MAB，

∵∠ANB=∠MBN，

∴∠MAN=∠AMB，

∵===2，，

∴，

∴，

在和中， ，

∴（ASA），

∴MN=AB=5，

∴MN的為定值，定值為5．