Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，A(-a,0),B(b,0),C(0,c),且滿足.

(1)如圖1，過B作BD⊥AC,交y軸于M，垂足為D，求M點的坐標．

(2)如圖2，若a=3，AC=6，點P為線段AC上一點，D為x軸負半軸上一點，且PD=PO，∠DPO=45°，求點D的坐標．

(3)如圖3，M在OC上，E在AC上，滿足∠CME=∠OMA,EF⊥AM交AO于G，垂足為F，試猜想線段OG,OM,CM三者之間的數量關系，并給出證明．

Answer 1

【答案】（1）M（0,2）；（2）D（，0）；（3）OG+OM=CM，證明見解析.

【解析】

（1）由被開方數大于等于0，可得a=c，b=2，則B點坐標為（2,0），易得△OAC和△OBM為等腰直角三角形，所以OM=OB=2，從而得到M點坐標；

（2）由“一線三等角”模型，易證△PAD≌△OCP，從而得到AP=OC，AD=PC，即可求出OD的長度，進而得到D點坐標；

（3）設OM=m，則M點坐標為（0，m），分別求出AC、AM、EM的解析式，將EM與AC聯立求得E點坐標，再根據EF⊥AM，可得EF的斜率，進而求出EF的解析式，然后求出G點坐標即可得出關系.

解：（1）由題意得，

∴，

∴OA=OC，B點坐標（2,0）

∴∠OAC=∠OCA=45°，

又∵BD⊥AC

∴∠OBM=45°，

∴∠OMB=∠OBM=45°，

∴OM=OB=2

∴M點的坐標為（0,2）

（2）∵∠APO=∠APD+∠DPO=∠PCO+∠POC，且∠DPO=∠PCO=45°

∴∠APD=∠POC

在△PAD和△OCP中，

∴△PAD≌△OCP（AAS）

∴AP=OC=，AD=PC

∴PC=AC-AP==AD

∴OD=OA-AD=

∵D點在x軸負半軸，

∴D點坐標為（，0）

（3）OG+OM=CM，證明如下：

設OM=m，則M點坐標為（0，m）

由（1）可知OA=OC=a，A點坐標為（-a，0），C點坐標為（0，a）

∴AC直線解析式為：

AM直線解析式為：

如圖，延長EM，AO交于點H，

∵∠CME=∠OMA，∠CME=∠OMH

∴∠OMA=∠OMH

又∵MO⊥AH

∴OA=OH=a

∴直線EH解析式為：

將直線AC與直線EH聯立得

解得

∴E點坐標為（，）

∵EF⊥AM

∴kEF·kAM=-1

∴kEF=

設EF解析式為：

將E點坐標（，）代入得

=，解得

設EF解析式為：

當y=0時，

解得

∴G點坐標為（，0）

∵G在x軸的負半軸

∴OG=

∴OG+OM=

又∵CM=OC-OM=

∴OG+OM=CM