Question

【題目】(1)方法回顧

在學習三角形中位線時，為了探索三角形中位線的性質，思路如下：

第一步添加輔助線：如圖1，在△ABC中，延長DE (D、E分別是AB、AC的中點)到點F，使得EF＝DE，連接CF；

第二步證明△ADE≌△CFE，再證四邊形DBCF是平行四邊形，從而得到DE∥BC，DE＝BC．

(2)問題解決

如圖2，在正方形ABCD中，E為AD的中點，G、F分別為AB、CD邊上的點，若AG＝2，DF＝3，∠GEF＝90°，求GF的長．

(3)拓展研究

如圖3，在四邊形ABCD中，∠A＝100°，∠D＝110°，E為AD的中點，G、F分別為AB、CD邊上的點，若AG＝4，DF＝，∠GEF＝90°，求GF的長．

Answer 1

【答案】問題解決：GF=5；拓展研究：GF=.

【解析】

（1）延長GE、FD交于點H，可證得△AEG≌△DEH，結合條件可證明EF垂直平分GH，可得GF=FH，可求得GF的長；

（2）過點D作AB的平行線交GE的延長線于點H，過H作CD的垂線，垂足為P，連接HF，可證明△AEG≌△DEH，結合條件可得到△HPD為等腰直角三角形，可求得PF的長，在Rt△HFP中，可求得HF，則可求得GF的長．

(1)如圖2，延長GE、FD交于點H，

∵E為AD中點，

∴EA＝ED，且∠A＝∠EDH＝90°，

在△AEG和△DEH中，

∴△AEG≌△DEH(ASA)，

∴AG＝HD＝2，EG＝EH，

∵∠GEF＝90°，

∴EF垂直平分GH，

∴GF＝HF＝DH+DF＝2+3＝5；

(2)如圖3，過點D作AB的平行線交GE的延長線于點H，過H作CD的垂線，垂足為P，連接HF，

同(1)可知△AEG≌△DEH，GF＝HF，

∴∠A＝∠HDE＝100°，AG＝HD＝4，

∵∠ADC＝110°，

∴∠HDF＝360°﹣100°﹣110°＝150°，

∴∠HDP＝30°，∴HP＝2，

PD＝PH＝，

∴PF＝PD+DF＝

在Rt△HFP中，∠HPF＝90°，HP＝2，PF＝，

∴HF＝＝，

∴GF＝．