Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，⊙O是△ABC外接圓，點D是圓上一點，點D、B分別在AC兩側，且BD=BC，連接AD、BD、OD、CD，延長CB到點P，使∠APB=∠DCB．

（1）求證：AP為⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為1，當△OED是直角三角形時，求△ABC的面積；

（3）若△BOE、△DOE、△AED的面積分別為a、b、c，試探究a、b、c之間的等量關系式，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）S△ABC=或；（3）b2=ac．

【解析】試題分析：（1）欲證明PA是切線，只要證明PA⊥OA即可；
（2）分兩種情形分別求解即可；
（3）只要證明AD∥OB，可得△AED∽△OEB，推出，再推出可得=（）2，b2=ac．

試題解析：

（1）證明：∵BD=BC，

∴∠BDC=∠BCD，

∵∠P=∠BCD，∠BAC=∠BDC，

∴∠P=∠BAC，

∵AC是直徑，

∴∠ABC=∠ABP=90°，

∴∠P+∠BAP=90°，

∴∠BAP+∠BAC=90°，

∴∠OAP=90°，

∴OA⊥PA，

∴PA是⊙O的切線．

（2）解：①當∠OED=90°時，CB=CD=BD，△ABC是等邊三角形，可得∠ACB=30°，

∵AC=2，

∴AB=1，BC=，

∴S△ABC=．

②當∠DOE=90°時，易知∠AOB=45°，△ABC的AC邊上的高=，

∴S△ABC=．

（3）∵BD=BC，OD=OC，BO=BO，

∴△BOD≌△BOC，

∴∠OBD=∠OBC，

∵OB=OD=CO，

∴∠OBD=∠OBC=∠ODB=∠OCB，

∵∠ADB=∠OCB，

∴∠ADB=∠OBD，

∴AD∥OB，

∴△AED∽△OEB，

∴ ，

∵，

∴=（）2，

∴b2=ac．