Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

（1）當直線MN繞點C旋轉到①的位置時，求證：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；

（2）當直線MN繞點C旋轉到②的位置時，求證：DE=AD﹣BE；

（3）當直線MN繞點C旋轉到③的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的數量關系？請直接寫出這個等量關系，不需要證明．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析②DE=CE+CD=AD+BE（2）證明見解析（3）DE=BE﹣AD（或AD=BE﹣DE，BE=AD+DE等）

【解析】

(1）由∠ACB=90°，得∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，則∠ADC=∠CEB=90°，根據等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得△ADC≌△CEB，

由△ADC≌△CEB所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE=DC+CE= AD+ BE．

（2）由∠ACB=90°，得∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，則∠ADC=∠CEB=90°，根據等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得△ADC≌△CEB，

由△ADC≌△CEB所以AD=CE，DC=BE即可得到DE =CE-CD=AD﹣BE
(3) 由∠ACB=90°，得∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，則∠ADC=∠CEB=90°，根據等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得△ADC≌△CEB，

由△ADC≌△CEB所以AD=CE，DC=BE即可得到DE =CD-CE=BE﹣AD．

（1）①證明：∵∠ACB=90°，∠ADC=90°，∠BEC=90°

∴∠ACD+∠DAC=90°，∠ACD+∠BCE=90°，

∴∠DAC=∠BCE，

在△ADC與△CEB中，

，

∴△ADC≌△CEB（AAS）；

②DE=CE+CD=AD+BE．理由如下：

由①知，△ADC≌△BEC，

∴AD=CE，BE=CD，

∵DE=CE+CD，

∴DE=AD+BE；

（2）證明：∵AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

∴∠ADC=∠BEC=∠ACB=90°，

∴∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCE=90°．

∴∠CAD=∠BCE．

在△ADC和△CEB中，

，

∴△ADC≌△CEB（AAS）．

∴CE=AD，CD=BE．

∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE．

（3）解：同（2），易證△ADC≌△CEB．

∴AD=CE，BE=CD

∵CE=CD﹣ED

∴AD=BE﹣ED，即ED=BE﹣AD；

當MN旋轉到圖3的位置時，AD、DE、BE所滿足的等量關系是DE=BE﹣AD（或AD=BE﹣DE，BE=AD+DE等）．