Question

【題目】閱讀理解：

如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A與點B的坐標分別是，．

對于坐標平面內的一點P，給出如下定義：如果，則稱點P為線段AB的“等角點”顯然，線段AB的“等角點”有無數個，且A、B、P三點共圓．

設A、B、P三點所在圓的圓心為C，直接寫出點C的坐標和的半徑；

軸正半軸上是否有線段AB的“等角點”？如果有，求出“等角點”的坐標；如果沒有，請說明理由；

當點P在y軸正半軸上運動時，是否有最大值？如果有，說明此時最大的理由，并求出點P的坐標；如果沒有請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①或，半徑為，②，．（2）

【解析】分析：

（1）①如下圖1，連接BC、AC，則由“圓周角定理”可知∠ACB=2∠APB=90°，過點C作CH⊥AB于點H，則由已知條件根據“垂徑定理”可得AH=BH=CH=3，從而可得OH=OA+AH=4，由此即可得到點C的坐標為（-4，3）或（-4，-3）；此時在Rt△ACH中由勾股定理可求得的半徑為 ；②如下圖2，當點C的坐標為（-4，3）時，過點C作CD⊥y軸于點D，則由CD=4<可知，此時C和y軸有交點，設交點為P1和P2，連接CP1和CP2，利用勾股定理求得DP1和DP2的長度即可求得P1和P2的坐標了；

（2）如下圖3，當過A，B的圓與y軸相切于點P時，∠最大，設此時圓心為E，則E在第三象限，在y軸的正半軸上任意取一點不與點P重合，連接MA，MB，PA，PB，設MB交E于點N，連接NA，則由“圓周角定理”和“三角形外角的性質”易得∠APB=∠ANB>∠AMB，從而說明此時∠APB最大；再過點E作EF⊥x軸于點F，連接EA、EP，易證四邊形OPEF是矩形，由此可得PE=OF=4，再Rt△AEF中，由勾股定理可得EF=，從而可得OP=，由此即可得到此時點P的坐標為.

詳解：

（1）①如圖1，

在x軸的上方，作以AB為斜邊的直角三角形ACB，易知點A，B，P在上，連接CA，CB，過點C作軸于點H，

∵，

∴，

∴，，

∴，

由垂徑定理可得，，

∴，，

所以，半徑為，

由對稱性可知，點也滿足條件．

②軸的正半軸上存在線段AB的“等角點”．

如圖2所示，

當圓心為時，過點C作軸于點D，則，，

∵的半徑為，

∴與y軸相交，

設交點為，，連接，，CA，則，

∵軸，，，

∴，

∴，．

當過A，B的圓與y軸相切于點P時，最大．

理由如下：如果點P在y軸的正半軸上，如圖3，

設此時圓心為E，則E在第三象限，在y軸的正半軸上任意取一點不與點P重合，

連接MA，MB，PA，PB，設MB交于點N，連接NA，

∵點P、點N在上，

∴，

∵是的外角，

∴，即，

此時，過點E作軸于點F，連接EA，EP，則，，

∵與y軸相切于點P，則軸，

∴四邊形OPEF是矩形，，，

∴的半徑為4，即，

∴在中，，

∴，

∴