Question

【題目】如圖，已知二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x＝﹣1，圖象經過B（﹣3，0）、C（0，3）兩點，且與x軸交于點A．

（1）求二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的表達式；

（2）在拋物線的對稱軸上找一點M，使△ACM周長最短，求出點M的坐標；

（3）若點P為拋物線對稱軸上的一個動點，直接寫出使△BPC為直角三角形時點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）當點M的坐標為（﹣1，2）時，△ACM周長最短；（3）使△BPC為直角三角形時點P的坐標為（﹣1，﹣2），（﹣1，），（﹣1，）或（﹣1，4）．

【解析】

（1）由拋物線的對稱軸及點B的坐標可求出點A的坐標，由點A，B，C的坐標，利用待定系數法即可求出二次函數的表達式；

（2）連接BC，交直線x=-1于點M，此時△ACM周長最短，由點B，C的坐標，利用待定系數法可求出直線BC的函數表達式，再利用一次函數圖象上點的坐標特征即可求出點M的坐標；

（3）設點P的坐標為（-1，m），結合點B，C的坐標可得出PB2，PC2，BC2的值，分∠BCP=90°，∠CBP=90°，∠BPC=90°三種情況考慮，①當∠BCP=90°時，利用勾股定理可得出關于m的一元一次方程，解之可得出m的值，進而可得出點P的坐標；②當∠CBP=90°時，利用勾股定理可得出關于m的一元一次方程，解之可得出m的值，進而可得出點P的坐標；③當∠BPC=90°時，利用勾股定理可得出關于m的一元二次方程，解之可得出m的值，進而可得出點P的坐標．綜上，此題得解．

（1）∵二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x＝﹣1，點B的坐標為（﹣3，0），

∴點A的坐標為（1，0）．

將A（1，0），B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，

得：，

解得：，

∴二次函數的表達式為y＝﹣x2﹣2x+3．

（2）連接BC，交直線x＝﹣1于點M，如圖1所示．

∵點A，B關于直線x＝﹣1對稱，

∴AM＝BM．

∵點B，C，M三點共線，

∴此時AM+CM取最小值，最小值為BC．

設直線BC的函數表達式為y＝kx+d（k≠0），

將B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝kx+d，

得：，

解得：，

∴直線BC的函數表達式為y＝x+3．

當x＝﹣1時，y＝x+3＝2，

∴當點M的坐標為（﹣1，2）時，△ACM周長最短．

（3）設點P的坐標為（﹣1，m），

∵點B的坐標為（﹣3，0），點C的坐標為（0，3），

∴PB2＝[﹣3﹣（﹣1）]2+（0﹣m）2＝m2+4，

PC2＝[0﹣（﹣1）]2+（3﹣m）2＝m2﹣6m+10，

BC2＝[0﹣（﹣3）]2+（3﹣0）2＝18．

分三種情況考慮（如圖2）：

①當∠BCP＝90°時，BC2+PC2＝PB2，

∴18+m2﹣6m+10＝m2+4，

解得：m＝4，

∴點P的坐標為（﹣1，4）；

②當∠CBP＝90°時，BC2+PB2＝PC2，

∴18+m2+4＝m2﹣6m+10，

解得：m＝﹣2，

∴點P的坐標為（﹣1，﹣2）；

③當∠BPC＝90°時，PB2+PC2＝BC2，

∴m2+4+m2﹣6m+10＝18，

整理得：m2﹣3m﹣2＝0，

解得：m1＝，m2＝，

∴點P的坐標為（﹣1，）或（﹣1，）．

綜上所述：使△BPC為直角三角形時點P的坐標為（﹣1，﹣2），（﹣1，），（﹣1，）或（﹣1，4）．