Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，點D從點A出發以1cm/s的速度運動到點C停止．作DE⊥AC交邊AB或BC于點E，以DE為邊向右作正方形DEFG．設點D的運動時間為t（s）．

（1）求AC的長．

（2）請用含t的代數式表示線段DE的長．

（3）當點F在邊BC上時，求t的值．

（4）設正方形DEFG與△ABC重疊部分圖形的面積為S（cm2），當重疊部分圖形為四邊形時，求S與t之間的函數關系式．

Answer 1

【答案】(1)10cm;(2) 當0≤t≤時，DE=t, 當＜t≤10時，DE=（10﹣t）=﹣t+；(3) t= ;(4) 當0＜t≤時，S== t2, 當≤t＜10時，S=（10﹣t）2．

【解析】試題分析：

（1）根據已知條件由“勾股定理”易得：AC=10cm；

（2）如圖1和圖2需分點E在AB上和BC上兩種情況，結合相似三角形的性質即可求得對應的DE的長；

（3）如圖3，由已知易證△CGF∽△CBA，從而可用含“t”的式子表達出GC的長，結合AD+DG+GC=BC=10及AD=t，DG=DE=t，即可求得對應的t的值；

（4）結合（2）、（3）可知當0＜t≤時，重疊部分就是正方形DEFG；當≤t＜10時，重疊部分是四邊形DEMG；由已知條件分以上兩種情況進行解答即可.

試題解析：

（1）在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，

根據勾股定理得：AC=10cm；

（2）分兩種情況考慮：如圖1所示，

過B作BH⊥AC，

∵S△ABC=AB·BC=ACBH，

∴BH=，AH=，

∵∠ADE=∠AHB=90°，∠A=∠A，

∴△AED∽△ABH，

∴，即 ，

解得：DE=，

則當0≤t≤時，DE=；

如圖2所示，

同理得到△CED∽△CBH，

∴，即 ，

解得：DE=（10﹣t）=﹣，

則當＜t≤10時，DE=（10﹣t）=﹣；

（3）如圖3所示，

如圖3，當點F剛好落在BC邊上時，∵∠C=∠C，∠EGC=∠ABC=90°，

∴△FGC∽△ABC，

∴，即 ，

∴GC=，

∵AD+DG+GC=AC=10，

∴，解得：；

（4）如圖1所示，當0＜t≤時，S=DE2=；

如圖2所示，當≤t＜10時，

∵EF∥CG，

∴△EFM∽△CGM∽△CBA，

∴，即 ，解得：FM=，

∴S=S正方形DEFG-S△EFM

=DE2-DE·FM=.