Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中A為直線y=x﹣1上一點，過原點O的直線與反比例函數y=﹣圖象交于點B，C．若△ABC為等邊三角形，則點A的坐標為_____．

Answer 1

【答案】(﹣2，﹣)

【解析】

觀察圖象可知點A只能在第三象限，如圖設△ABC是等邊三角形，作BM⊥x軸于M，AN⊥x軸于N．設B(m，﹣)，利用相似三角形的判定得到△OMB∽△ANO，進而求出點A的坐標(用m表示)，再利用待定系數法求出m即可．

解：觀察圖象可知點A只能在第三象限，如圖設△ABC是等邊三角形，作BM⊥x軸于M，AN⊥x軸于N，

設B(m，﹣)，

由題意，B，C關于原點O對稱，

∴OB=OC，

∵△ABC是等邊三角形，

∴OA⊥BC，OA=OB，

∴∠AOB=∠OMB=∠ONA=90°，

∴∠BOM+∠AON=90°，∠NAO+∠AON=90°，

∴∠BOM=∠NAO，

∴△OMB∽△ANO，

∴，

∵OM=﹣m，BM=﹣，

∴ON=﹣，AN=﹣m，

∴A(，m)，

∵點A在直線y=x﹣1上，

∴m=﹣1，

解得m=﹣或(舍棄)，

∴A(﹣2，﹣).

故答案為：(﹣2，﹣)．