Question

【題目】已知：如圖，在□ABCD中，點G為對角線AC的中點，過點G的直線EF分別交邊AB、CD于點E、F，過點G的直線MN分別交邊AD、BC于點M、N，且∠AGE=∠CGN.

（1）求證：四邊形ENFM為平行四邊形；

（2）當四邊形ENFM為矩形時，求證：BE=BN.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】分析：

（1）由已知條件易得∠EAG=∠FCG，AG=GC結合∠AGE=∠FGC可得△EAG≌△FCG，從而可得△EAG≌△FCG，由此可得EG=FG，同理可得MG=NG，由此即可得到四邊形ENFM是平行四邊形；

（2）如下圖，由四邊形ENFM為矩形可得EG=NG，結合AG=CG，∠AGE=∠CGN可得△EAG≌△NCG，則∠BAC=∠ACB ，AE=CN，從而可得AB=CB，由此可得BE=BN.

詳解：

（1）∵四邊形ABCD為平行四四邊形邊形，

∴AB//CD.

∴∠EAG=∠FCG.

∵點G為對角線AC的中點，

∴AG=GC.

∵∠AGE=∠FGC，

∴△EAG≌△FCG.

∴EG=FG.

同理MG=NG.

∴四邊形ENFM為平行四邊形.

（2）∵四邊形ENFM為矩形，

∴EF=MN，且EG=,GN=，

∴EG=NG，

又∵AG=CG，∠AGE=∠CGN，

∴△EAG≌△NCG，

∴∠BAC=∠ACB ，AE=CN，

∴AB=BC，

∴AB-AE=CB-CN，

∴BE=BN.