Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD是菱形,點E、F分別是菱形ABCD邊AD、CD的中點.

（1）求證：BE=BF；

（2）當△BEF為等邊三角形時，求的度數.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）120°

【解析】分析：（1）利用菱形的性質證明△ABE≌△BCF，即可證出BE=BF；

（2）取BF的中點G，連接EG，先證四邊形ABFD是梯形，再證EG是梯形ABFD的中位線，即可得到∠ABF=90°，進而可求出的度數.

詳解：(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C

∵點E、F分別為菱形ABCD邊AD、CD的中點.

∴AE=CF ，

又∵ ∠A=∠C，AB=BC，

∴△ABE≌△BCF，

∴BE=BF；

(2) 取BF的中點G，連接EG，

∵△BEF為等邊三角形，

∴EG⊥BF，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB∥DF，

又∵AD與BF不平行，

∴四邊形ABFD是梯形

∵E是AD中點，G是BF的中點，

∴EG是梯形ABFD的中位線，

∴EG∥AB，

∵EG⊥BF，

∴AB⊥BF，

∴∠ABF=90°，

∵△BEF為等邊三角形，

∴∠EBF=60°，

∴∠ABE=30° ，

∵△ABE≌△BCF，

∴∠ABE=∠CBF= 30°，

∴∠ABC=120°.