Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，AB=，∠A=120°，點P，Q，K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點，則PK+QK的最小值為____________．

Answer 1

【答案】6

【解析】

根據菱形的對稱性，在AB上找到點P關于BD的對稱點，過點作Q⊥CD于Q，交BD于點K，連接PK，過點A作AE⊥CD于E，根據垂線段最短和平行線之間的距離處處相等，可得此時最小，且最小值為的長，，然后利用銳角三角函數求AE即可．

解：根據菱形的對稱性，在AB上找到點P關于BD的對稱點，過點作Q⊥CD于Q，交BD于點K，連接PK，過點A作AE⊥CD于E

根據對稱性可知：PK=K，

∴此時=，根據垂線段最短和平行線之間的距離處處相等，

∴此時最小，且最小值為的長，

∵在菱形中，,

∴，∠ADE=180°－∠A=60°

在Rt△ADE中，AE=AD·sin∠ADE=

∴

即的最小值為6

故答案為6．