Question

【題目】如圖，矩形OABC的頂點A，B的坐標分別為（4，0），（4，3），動點M，N分別從O，B同時出發．以每秒1個單位的速度運動．其中，點M沿OA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動．過點M作MP⊥OA，交AC于P，連接NP，已知動點運動了秒．

（1）當時，求PC的長；

（2）當為何值時，△NPC是以PC為腰的等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）當時， ；（2）當或時，△NPC是以PC為腰的等腰三角形.

【解析】試題分析：（1）利用平行于三角形底邊所構成對應邊成比例得到，代入數據求值.(2)隨著M，N點的運動，當PC＝PN時, 利用矩形的性質，BC＝CN＋BN，求得x值 ;當PC＝CN時,列出對應邊成比例，代入求值.

試題解析：

（1）∵ 點A（4，0），B（4，3），∴ OA＝4，AB＝3，

在矩形OABC中，BC＝OA＝4，OC＝AB＝3，∠AOC＝∠BCO＝90°，

在Rt△AOC中， ，

依題知：OM＝BN＝＝1，又PM⊥OA ，∴ PM∥OC，

∴，∴ ，∴ ，

∴ 當時， .

（2）①當PC＝PN時，△NPC是以PC為腰的等腰三角形，

延長MP交BC于點為D，

在矩形OABC中，BC∥OA ，∴ PD⊥BC ，

又∠AOC＝∠BCO＝90°，

∴ 四邊形OCDM為矩形 ，∴ CD＝OM＝，

又PC＝PN，PD⊥BC ，∴ CN＝2CD＝，

∵ BC＝CN＋BN ，∴ ，∴ ，

∴ 當時，△NPC是以PC為腰的等腰三角形.

② 當PC＝CN時，△NPC是以PC為腰的等腰三角形，

由上面知：CN＝BC－BN＝＝PC， ∵ PM∥OC ，

∴， ∴， ∴，

∴ 當時，△NPC是以PC為腰的等腰三角形；

綜上所述，當或時，△NPC是以PC為腰的等腰三角形.