Question

【題目】如圖，AD是△ABC的角平分線，線段AD的垂直平分線分別交AB和AC于點(diǎn)E、F，垂足為O，連接DE、DF.

(1)判斷四邊形AEDF的形狀，并證明.

(2)直接寫(xiě)出△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AEDF是正方形？

Answer 1

【答案】(1)四邊形AEDF是菱形，證明見(jiàn)解析；(2)△ABC中∠BAC＝90°時(shí)，四邊形AEDF是正方形.

【解析】

(1)由∠BAD＝∠CAD，AO＝AO，∠AOE＝∠AOF＝90°證△AEO≌△AFO，推出EO＝FO，得出平行四邊形AEDF，根據(jù)EF⊥AD得出菱形AEDF；

(2)根據(jù)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形可得∠BAC＝90°時(shí)，四邊形AEDF是正方形.

解：(1)四邊形AEDF是菱形，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD，

又∵EF⊥AD，

∴∠AOE＝∠AOF＝90°

∵在△AEO和△AFO中

∵，

∴△AEO≌△AFO(ASA)，

∴EO＝FO，

∵EF垂直平分AD，

∴EF、AD相互平分，

∴四邊形AEDF是平行四邊形

又EF⊥AD，

∴平行四邊形AEDF為菱形；

(2)當(dāng)△ABC中∠BAC＝90°時(shí)，四邊形AEDF是正方形；

∵∠BAC＝90°，

∴四邊形AEDF是正方形(有一個(gè)角是直角的菱形是正方形).