Question

【題目】如圖，二次函數y＝﹣x2+4x+5圖象的頂點為D，對稱軸是直線1，一次函數yx+1的圖象與x軸交于點A，且與直線DA關于l的對稱直線交于點B．

（1）點D的坐標是　 ；

（2）直線l與直線AB交于點C，N是線段DC上一點（不與點D、C重合），點N的縱坐標為n．過點N作直線與線段DA、DB分別交于點P、Q，使得△DPQ與△DAB相似．

①當n時，求DP的長；

②若對于每一個確定的n的值，有且只有一個△DPQ與△DAB相似，請直接寫出n的取值范圍　　．

Answer 1

【答案】（1）（2，9）；（2）①DP或DP；②n.

【解析】

（1）直接用頂點坐標公式求即可；

（2）由對稱軸可知點C（2，），A（，0），點A關于對稱軸對稱的點（，0），借助AD的直線解析式求得B（5，3）；①當n=時，N（2，），可求DA=，DN=，CD=，當PQ∥AB時，△DPQ∽△DAB，DP=DP=；當PQ與AB不平行時，DP=；②當PQ∥AB，DB=DP時，DB=，DN=，所以N（2，），則有且只有一個△DPQ與△DAB相似時，n；

解：（1）頂點為D（2，9）；

故答案為（2，9）；

（2）對稱軸x＝2，

∴C（2，），

由已知可求A（，0），

點A關于x＝2對稱點為（，0），

則AD關于x＝2對稱的直線為y＝﹣2x+13，

∴B（5，3），

①當n=時，N（2，），

∴DA=，DN=，CD=，

當PQ∥AB時，△DPQ∽△DAB，

∵△DAC∽△DPN，

∴，

∴DP=；

當PQ與AB不平行時，△DPQ∽△DBA，

∴△DNQ∽△DCA，

∴，

∴DP，

綜上所述，DP或DP；

②當PQ∥AB，DB＝DP時，DB＝，

∴

∴DN

∴N（2，），

∴有且只有一個△DPQ與△DAB相似時，n；

故答案為：n；