Question

【題目】如圖，等邊三角形ABC的邊長為cm，在AC，BC邊上各取一點E，F，使得AE=CF，連接AF，BE相交于點P．（1）則∠APB=______度；（2）當點E從點A運動到點C時，則動點P經過的路徑長為________cm.

Answer 1

【答案】120

【解析】

（1）證明△ABE≌△CAF，借用外角即可以得到答案；

（2）由∠APB＝120°可知點P的運動路徑是一段弧，根據圓周角定理可得∠AOB＝120°，過圓心O做OG⊥AB，由AB＝可得OA＝1，然后利用弧長公式計算即可.

解：（1）∵△ABC為等邊三角形，

∴AB＝AC，∠C＝∠CAB＝60°，

又∵AE＝CF，

在△ABE和△CAF中，，

∴△ABE≌△CAF（SAS），

∴∠ABE＝∠CAF，

又∵∠APE＝∠BPF＝∠ABP＋∠BAP，

∴∠APE＝∠BAP＋∠CAF＝60°，

∴∠APB＝180°∠APE＝120°；

（2）由∠APB＝120°可知點P的運動路徑是一段弧，如圖，

∵∠APB＝120°，

所以劣弧AB所對的圓周角為60°，

∴∠AOB＝120°，

過圓心O做OG⊥AB，則∠AOG=30°，

又∵AB＝，

∴AG＝，

∴OA＝，

∴動點P經過的路徑長l＝．

故答案為：（1）120；（2）.