Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分別為AB，AC邊上的中點，連接DE，將△ADE繞點E旋轉180°得到△CFE，連接AF，AC．

（1）求證：四邊形ADCF是菱形；

（2）若BC=8，AC=6，求四邊形ABCF的周長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）28．

【解析】試題分析：（1）根據旋轉可得AE=CE，DE=EF，可判定四邊形ADCF是平行四邊形，然后證明DF⊥AC，可得四邊形ADCF是菱形；

（2）首先利用勾股定理可得AB長，再根據中點定義可得AD=5，根據菱形的性質可得AF=FC=AD=5，進而可得答案．

試題解析：（1）∵將△ADE繞點E旋轉180°得到△CFE，

∴AE=CE，DE=EF，

∴四邊形ADCF是平行四邊形，

∵D、E分別為AB，AC邊上的中點，

∴DE是△ABC的中位線，

∴DE∥BC，

∵∠ACB=90°，

∴∠AED=90°，

∴DF⊥AC，

∴四邊形ADCF是菱形；

（2）在Rt△ABC中，BC=8，AC=6，

∴AB=10，

∵D是AB邊上的中點，

∴AD=5，

∵四邊形ADCF是菱形，

∴AF=FC=AD=5，

∴四邊形ABCF的周長為8+10+5+5=28．