Question

【題目】如圖1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB為邊，在△OAB

外作等邊△OBC，D是OB的中點，連接AD并延長交OC于E．

（1）求證：四邊形ABCE是平行四邊形；

（2）如圖2，將圖1中的四邊形ABCO折疊，使點C與點A重合，折痕為FG，求OG的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）OG=1.

【解析】

（1）首先根據直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DO=DA，再根據等邊對等角可得∠DAO=∠DOA=30°，進而算出∠AEO=60°，再證明BC∥AE，CO∥AB，進而證出四邊形ABCE是平行四邊形．

（2）設OG=x，由折疊可得：AG=GC=8-x，再利用三角函數可計算出AO，再利用勾股定理計算出OG的長即可．

解：（1）證明：在Rt△OAB中，D為OB的中點，∴DO="DA" ．

∴∠DAO=∠DOA ="30°," ∠EOA="90°" ．∴∠AEO ="60°" ．

又∵△OBC為等邊三角形，∴∠BCO=∠AEO =60°．∴BC∥AE．

∵∠BAO=∠COA =90°，∴OC∥AB．

∴四邊形ABCE是平行四邊形．

（2）設OG=x，由折疊可知：AG=GC=8－x．

在Rt△ABO中，∵∠OAB =90°，∠AOB =30°，OB=8，∴OA=OB·cos30°=8×=．

在Rt△OAG中，OG2+OA2=AG2，即，解得，．

∴OG=1．