Question

【題目】閱讀材料：一般情形下等式＝1不成立，但有些特殊實數可以使它成立，例如：x＝2，y＝2時，＝1成立，我們稱(2，2)是使＝1成立的“神奇數對”．請完成下列問題：

（1）數對(，4)，(1，1)中，使＝1成立的“神奇數對”是　 　；

（2）若(5﹣t，5+t)是使＝1成立的“神奇數對”，求t的值；

（3）若(m，n)是使＝1成立的“神奇數對”，且a＝b+m，b＝c+n，求代數式（a﹣c）2﹣12（a﹣b）（b﹣c）的最小值．

Answer 1

【答案】（1）(，4)；（2）±；（3）﹣36

【解析】

（1）按照題中定義將數對（，4），（1，1）分別驗算即可；

（2）根據題意得關于t 的分式方程，解方程即可；

（3）根據已知條件，先將m和n用含a，b，c的式子表示出來，再根據題意得出關于m和n的等式，然后可得關于a，b，c的等式，從而可對所給的代數式配方，求得最值．

解：（1）∵+＝+＝1

∴（，4）是使＝1成立的“神奇數對”．

∵+＝2≠1

∴（1，1）不是使＝1成立的“神奇數對”．

故答案為：（，4）；

（2）若（5﹣t，5+t）是使＝1成立的“神奇數對”，

則：+＝1

∴5+t+5﹣t＝25﹣t2

∴t＝±

經檢驗，t＝±是原方程的解

∴t的值為±；

（3）∵a＝b+m，b＝c+n

∴m＝a﹣b，n＝b﹣c

由題意得：+＝1

+＝1

∴b﹣c+a﹣b＝（a﹣b）（b﹣c）

∴a﹣c＝（a﹣b）（b﹣c）

∴（a﹣c）2﹣12（a﹣b）（b﹣c）

＝（a﹣c）2﹣12（a﹣c）

＝（a﹣c﹣6）2﹣36

∵（a﹣c﹣6）2≥0

∴（a﹣c﹣6）2﹣36≥﹣36

∴代數式（a﹣c）2﹣12（a﹣b）（b﹣c）的最小值為﹣36．