Question

【題目】已知直線AB∥CD，直線EF與AB，CD分別相交于點E，F．

（1）如圖1，若∠1=60°，求∠2，∠3的度數．

（2）若點P是平面內的一個動點，連結PE，PF，探索∠EPF，∠PEB，∠PFD三個角之間的關系．

①當點P在圖（2）的位置時，可得∠EPF=∠PEB+∠PFD請閱讀下面的解答過程并填空（理由或數學式）

解：如圖2，過點P作MN∥AB

則∠EPM=∠PEB（_______）

∵AB∥CD（已知）MN∥AB（作圖）

∴MN∥CD（_______）

∴∠MPF=∠PFD （_______）

∴_____=∠PEB+∠PFD（等式的性質）

即：∠EPF=∠PEB+∠PFD

②拓展應用，當點P在圖3的位置時，此時∠EPF=80°，∠PEB=156°，則∠PFD=_____度．

③當點P在圖4的位置時，請直接寫出∠EPF，∠PEB，∠PFD三個角之間關系_____．

Answer 1

【答案】（1）∠2=60°，∠3=60°；（2）　兩直線平行，內錯角相等 如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行 兩直線平行，內錯角相等 ∠EPM+∠FPM 124 ∠EPF+∠PFD=∠PEB　．

【解析】

（1）根據對頂角相等求∠2，根據兩直線平行，同位角相等求∠3；

（2）①過點P作MN∥AB，根據平行線的性質得∠EPM=∠PEB，且有MN∥CD，所以∠MPF=∠PFD，然后利用等式性質易得∠EPF=∠PEB+∠PFD．

②同①；

③利用平行線的性質和三角形的外角性質得到三個角之間的關系．

（1）∵∠2=∠1，∠1=60°

∴∠2=60°，

∵AB∥CD

∴∠3=∠1=60°；

（2）①如圖2，過點P作MN∥AB，則∠EPM=∠PEB（兩直線平行，內錯角相等）

∵AB∥CD（已知），MN∥AB，

∴MN∥CD（如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）

∴∠MPF=∠PFD（兩直線平行，內錯角相等）

∴∠EPM+∠MPF=∠PEB+∠PFD（等式的性質）

即∠EPF=∠PEB+∠PFD；

故答案為：兩直線平行，內錯角相等；如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；兩直線平行，內錯角相等；∠EPM+∠MPF；

②過點P作PM∥AB，如圖3所示：

則∠PEB+∠EPM=180°，∠MPF+∠PFD=180°，

∴∠PEB+∠EPM+∠MPF+∠PFD=180°+180°=360°，

即∠EPF+∠PEB+∠PFD=360°，

∴∠PFD=360°﹣80°﹣156°=124°；

故答案為：124；

③∠EPF+∠PFD=∠PEB．

故答案為：∠EPF+∠PFD=∠PEB．