Question

【題目】如果拋物線的頂點在拋物線上，同時，拋物線的頂點在拋物線上，那么，我們稱拋物線與關聯．

（1）已知拋物線，判斷下列拋物線：①；② 與已知拋物線是否關聯，并說明理由；

（2）已知拋物線: ，點P的坐標為，將拋物線繞點旋轉180°得到拋物線（此處我們稱點P為旋轉點），若拋物線與關聯，求拋物線的解析式；

（3）在（2）的條件下，已知點是拋物線上的一點，求以點A為頂點并與拋物線相關聯的拋物線的解析式，并判斷此時拋物線能否由拋物線旋轉得來？若能，請求出旋轉點坐標；若不能，請說明你的理由；

（4）由上述結論猜想：若兩拋物線相關聯，則它們的二次式項系數（分別記為）應滿足數量關系： ．

參考公式（中點坐標公式）：若點，則線段AB的中點坐標為．

Answer 1

【答案】（1）拋物線①與已知拋物線相關聯，而拋物線②不與已知拋物線相關聯，理由見解析；（2）拋物線： 或；（3）旋轉點；（4）．

【解析】試題分析：（1）首先求出拋物線①、②的頂點坐標，然后根據定義的拋物線關聯條件即可進行判斷．

（2）先求出拋物線C1的頂點坐標，設C2頂點為（x,y）,根據旋轉可知拋物線C2的頂點與C1的頂點關于點P(t，-1)對稱，從而可用含t的代數式表示C2的頂點坐標，然后根據定義代入C1的解析式，確定出C2的頂點，從而可求出C2的解析式；

（3）根據題意求出A點坐標，從而可利用頂點式來確定C2的解析式，從而可確定出旋轉點的坐標；

（4）根據定義若關聯，則二次項系數互為相反數，從而可得.

試題解析：（1）已知拋物線，頂點坐標為，

拋物線①，頂點坐標為，

拋物線②，頂點坐標為，

很明顯點在拋物線①上，且點也在已知拋物線

上，而點并不在已知拋物線上，

故拋物線①與已知拋物線相關聯，而拋物線②不與已知拋物線相關聯；

（2）拋物線: ，頂點坐標為，

設拋物線的頂點坐標為，根據中點坐標公式： ，

解得： ．將代入拋物線，

即： ，解得：t＝0或t＝2，

即拋物線的頂點坐標為或．

又拋物線與拋物線開口大小相同，但方向相反，

∴拋物線： 或，

即拋物線： 或；

（3）將代入拋物線，得： ，∴．

設拋物線： ，將拋物線的頂點代入，

解得： ．此時拋物線： ，即．

∵兩拋物線開口大小相同，但方向相反，∴拋物線能否由拋物線旋轉得來，

旋轉點為兩頂點與的中點，即．

（4）．