Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分線AD交BC邊于D．以AB上某一點O為圓心作⊙O，使⊙O經過點A和點D．

（1）判斷直線BC與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）若AC=3，∠B=30°．

①求⊙O的半徑；

②設⊙O與AB邊的另一個交點為E，求線段BD、BE與劣弧DE所圍成的陰影部分的圖形面積．（結果保留根號和π）

Answer 1

【答案】（1）BC與⊙O相切，理由見解析；（2）①⊙O的半徑為2.②S陰影= .

【解析】試題（1）根據題意得：連接OD，先根據角平分線的性質，求得∠BAD＝∠CAD，進而證得OD∥AC，然后證明OD⊥BC即可；

（2）設⊙O的半徑為r．則在Rt△OBD中，利用勾股定理列出關于r的方程，通過解方程即可求得r的值；然后根據扇形面積公式和三角形面積的計算可以求得結果．

試題解析：（1）相切．

理由如下：

如圖，連接OD.

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD.

∵OA＝OD，

∴∠ODA＝∠BAD，

∴∠ODA＝∠CAD，

∴OD∥AC.

又∠C＝90°，

∴OD⊥BC，

∴BC與⊙O相切

（2）①在Rt△ACB和Rt△ODB中，

∵AC＝3，∠B＝30°，

∴AB＝6，OB＝2OD.又OA＝OD＝r，

∴OB＝2r，

∴2r＋r＝6，

解得r＝2，

即⊙O的半徑是2　

②由①得OD＝2，則OB＝4，BD＝2，

S陰影＝S△BDO－S扇形CDE＝×2×2－＝2－π