Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E是BC邊上的一點，連接AE交對角線BD于點F，將線段AE繞點A逆時針旋轉90°，得到線段AG，連接EG，交對角線BD于點H，連接AH．

（1）根據題意補全圖形；

（2）判斷AH與EG的位置關系，并證明；

（3）若AB=2，設BE=x，BH=y，直接寫出y關于x的函數表達式．

Answer 1

【答案】（1）圖見解析；（2）AH垂直平分EG，證明見解析；（3）．

【解析】

（1）根據旋轉的定義、線段的畫法補全圖形即可；

（2）如圖（見解析），先根據正方形的性質、旋轉的性質、角的和差得出，，，再根據三角形全等的判定定理與性質得出，從而可得點共線，又根據平行線的性質、等腰直角三角形的性質得出，，然后根據三角形全等的判定定理與性質可得，最后根據等腰三角形的三線合一即可得；

（3）先根據正方形的性質得出，再根據等腰直角三角形的性質得出，從而可得，然后根據三角形全等的性質可得，最后根據線段的和差即可得出結論．

（1）根據旋轉的定義、線段的畫法補全圖形如下：

（2）AH垂直平分EG，證明如下：

如圖，連接DG

由旋轉的性質可知，

四邊形ABCD是正方形

，，

在和中，

點共線

過點E作，交BD于點M

，

是正方形ABCD的對角線

是等腰直角三角形，且

在和中，

，即點H為EG的中點

是等腰三角形

（等腰三角形的三線合一）

綜上，AH垂直平分EG；

（3）由正方形的性質得：

由（2）可知，是等腰直角三角形，且

又由（2）可知，

即．