Question

【題目】如圖，在線段AB上取一點C(非中點)，分別以AC、BC為邊在AB的同側作等邊△ACD和等邊△BCE，連接AE交CD于F，連接BD交CE于G，AE和BD交于點H，則下列結論：①AE＝DB；②不另外添加線，圖中全等三角形只有1對；③若連接FG，則△CFG是等邊三角形；④若連接CH，則CH平分∠FHG.其中正確的是________(填序號)．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】根據等邊三角形的性質得到∠ACD=∠BCE=60°，證得∠BCD=∠ACE，推出△ACE≌△DCB（SAS），根據全等三角形的性質得到AE=BD，故①正確，∠CAE=∠CDG，證得∠ACD=∠DCE，推出△ACF≌△DCG，同理△BCG≌△ECF，故②錯誤；根據全等三角形的性質得到CF=CG，由∠FCG=60°，得到△FCG是等邊三角形；故③正確，過C作CM⊥AE于M，CN⊥BD于N，推出△ACM≌△DCN，根據全等三角形的性質得到CM=CN，根據角平分線的性質得到CH平分∠FHG，故④正確．

∵△ACD與△BCE是等邊三角形，∴∠ACD=∠BCE=60°，∴∠BCD=∠ACE．在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE=BD，故①正確；

∵△ACE≌△DCB，∴∠CAE=∠CDG．

∵∠ACD=∠BCE=60°，∴∠DCE=60°，∴∠ACD=∠DCE．在△ACF與△DCG中，，∴△ACF≌△DCG，同理△BCG≌△ECF，故②錯誤；

∵△ACF≌△DCG，∴CF=CG．

∵∠FCG=60°，∴△FCG是等邊三角形；故③正確；

過C作CM⊥AE于M，CN⊥BD于N，∴∠AMC=∠DNC=90°．在△ACM與△DNC中，，∴△ACM≌△DCN，∴CM=CN，∴CH平分∠FHG，故④正確．

故答案為：①③④．