Question

【題目】如圖，△ABC中，AC為⊙O的直徑，點D在BC上，AC＝CD，∠ACB＝2∠BAD

（1）求證：AB與⊙O相切；

（2）連接OD，若tanB＝，求tan∠ADO．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）設線段AD與⊙O交于E，連接CE，根據AC為⊙O的直徑，可得CE⊥AD，再根據等腰三角形三線合一的性質可得∠ACD＝2∠ACE，根據∠ACB＝2∠BAD，從而得出∠ACE＝∠DAB，再根據∠CAE＝90°，可推出∠CAB＝90°，即可證明AB與⊙O相切；

（2）延長CE交AB于M，則CM為AD的垂直平分線，連接DM，通過證明△ACM≌△DCM（SSS），可得∠BDM＝90°，再根據銳角三角函數和中位線的性質求解即可．

（1）證明：設線段AD與⊙O交于E，連接CE，

∵AC為⊙O的直徑，

∴CE⊥AD，

∵AC＝CD，

∴∠ACD＝2∠ACE，

∵∠ACB＝2∠BAD，

∴∠ACE＝∠DAB，

∵∠CAE＝90°，

∴∠CAE+∠DAB＝90，

∴∠CAB＝90°，

∴AB與⊙O相切；

（2）解：∵AB與⊙O相切，

∴∠CAB＝90°，

延長CE交AB于M，則CM為AD的垂直平分線，連接DM，

∴DM＝AM，

∵AC＝CD，CM＝CM，

∴△ACM≌△DCM（SSS），

∴∠CDM＝∠CAB＝90°，

∴∠BDM＝90°，

∵tanB＝，

∴設AM＝MD＝3a，DB＝4a，MB＝5a，

AB＝8a，AC＝6a，

∴tan∠ACM＝tan∠EAM＝，

∴CE＝2AE，AE＝2EM，

設EN＝k，

∴AE＝DE＝2k，CE＝4k，

過O作ON⊥AD于N，

∴ON∥CE，

∴ON＝CE＝2k，AN＝AE＝k，

∴DN＝3AN＝3k，

∴tan∠ADO＝＝．