Question

【題目】如圖，在□ 中，過點 作 ⊥ 于點 ， ⊥ 于點 ， ．
求證：四邊形 是菱形．

Answer 1

【答案】證明：連接 ，如圖．
∵ ⊥ ， ⊥ ， ，

∴ ．
∵四邊形 是平行四邊形，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴□ 是菱形．
證法二：
∵四邊形 是平行四邊形，如圖2．
∴ ．
∵ ⊥ ， ⊥ ，
∴ ．

又∵ ，
∴ ≌ ．
∴ ．
∴□ 是菱形．
證法三：
∵四邊形 是平行四邊形，如圖2．
⊥ ， ⊥ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴□ 是菱形．
【解析】方法一：連接AC，由E⊥BC，AF⊥DC，AE=AF，可得∠2=∠1，再由平行線的性質和等腰三角形的判定可證得DA=DC，即可得□ABCD是菱形；方法二：根據已知條件易證△AEB≌△AFD，可得AB=AD，所以□ABCD是菱形；方法三：由平行四邊形的面積S=BCAE=CDAF，即可證得BC=CD，所以□ABCD是菱形．
【考點精析】通過靈活運用等腰三角形的判定和平行四邊形的性質，掌握如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）．這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等；平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分即可以解答此題．