Question

【題目】已知二次函數(shù)y=x2+bx+c（b，c是常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，﹣1）．

（1）用含b的代數(shù)式表示c．

（2）求二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的最大值，并寫(xiě)出此時(shí)二次函數(shù)的表達(dá)式．

（3）垂直于y軸的直線與（2）中所得的二次函數(shù)圖象交于（x1，y1）和（x2，y2），與一次函數(shù)y=﹣x+2的圖象交于（x3，y3），若x1<x2<x3，求x1+x2+x3的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）c=﹣b－2；（2）﹣1，此時(shí)y=x2－2x；（3）4<x1+x2+x3<5．

【解析】

（1）把點(diǎn)（1，﹣1）代入拋物線的解析式，整理即可得出結(jié)果；

（2）根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式和（1）題的結(jié)果可得拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)于b的二次函數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出其最大值，進(jìn)而可得結(jié)果；

（3）設(shè)垂直于y軸的直線為y=t，則x1、x2是方程x2－2x=t的兩個(gè)根，由此可得x1+x2的值，且只有當(dāng)時(shí)，滿足x1<x2<x3，如圖，由此可得關(guān)于x3的不等式組，解不等式組即可求出x3的取值范圍，進(jìn)而可得結(jié)果。

解：（1）∵二次函數(shù)y=x2+bx+c（b，c是常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，﹣1），

∴﹣1=1+b+c，

∴c=﹣b－2；

（2）拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)=，

∴當(dāng)b=﹣2時(shí)，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的最大值是﹣1；

此時(shí)c=0，二次函數(shù)的解析式是：y=x2－2x；

（3）設(shè)垂直于y軸的直線為y=t，拋物線y=x2－2x=（x－1）2－1，

由題意可得：只有當(dāng)時(shí)，滿足x1<x2<x3，如圖，

則x1、x2是方程x2－2x=t的兩個(gè)根，即x2－2x－t=0，

∴x1+x2=2，

當(dāng)時(shí)，，解得：，

∴4<x1+x2+x3<5．