Question

【題目】如圖，等腰三角形△ABC中，∠BAC=120°，AB=3．

（1）求BC的長(zhǎng)．

（2）如圖，點(diǎn)D在CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，連EF．求EF的最小值．

Answer 1

【答案】（1）BC=；（2）EF的最小值為

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠B=30°，BM=CM，由直角三角形的性質(zhì)得BM=，進(jìn)而即可求解；

（2）連接BD，取BD的中點(diǎn)O，連接OE，OF，易得B，D，E，F四點(diǎn)共圓，從而得OEF是等邊三角形，進(jìn)而得EF=BD，由BD⊥CD時(shí)， BD的值最小，進(jìn)而即可求解．

（1）過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，

∵等腰三角形△ABC中，∠BAC=120°，AB=3，

∴∠B=(180°-120°)÷2=30°，BM=CM，

∴BM=3÷2×=，

∴BC=2 BM=2×=3；

（2）連接BD，取BD的中點(diǎn)O，連接OE，OF，

∵DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，

∴在RtBDF與RtBDE中，OB=OD=OE=OF=BD，

∴B，D，E，F四點(diǎn)共圓，

∴∠EOF=2∠EBF=2×30°=60°，

∴OEF是等邊三角形，

∴EF=OF=BD，

∵∠C=∠EBF =30°，

∴當(dāng)BD⊥CD時(shí)，BD=BC=，此時(shí)，BD的值最小，

∴EF的最小值=BD =×=．