Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，點D、E分別是邊BC、AC的中點，連接DE．將△CDE繞點C逆時針方向旋轉，記旋轉角為α．

（1）問題發現

①當α＝0°時，＝_______；

②當α＝180°時，＝______．

（2）拓展探究

試判斷：當0°≤α＜360°時，的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明．

（3）問題解決

△CDE繞點C逆時針旋轉至A、B、E三點在同一條直線上時，求線段BD的長．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）的大小沒有變化，證明見解析；（3）BD的長為或．

【解析】

（1）①當α＝0°時，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根據點D、E分別是邊BC、AC的中點，分別求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少．

②α＝180°時，可得AB∥DE，然后根據＝，求出的值是多少即可．

（2）首先判斷出∠ECA＝∠DCB，再根據＝＝，判斷出△ECA∽△DCB，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得答案．

（3）分兩種情形：①如圖3﹣1中，當點E在AB的延長線上時，②如圖3﹣2中，當點E在線段AB上時，分別求解即可．

解：（1）①當α＝0°時，

∵Rt△ABC中，∠B＝90°，

∴AC＝＝＝2，

∵點D、E分別是邊BC、AC的中點，

∴AE＝AC＝，BD＝BC＝1，

∴＝．

②如圖1中，

當α＝180°時，

可得AB∥DE，

∵＝，

∴＝＝．

故答案為：①，②．

（2）如圖2，

當0°≤α＜360°時，的大小沒有變化，

∵∠ECD＝∠ACB，

∴∠ECA＝∠DCB，

又∵＝＝，

∴△ECA∽△DCB，

∴＝＝．．

（3）①如圖3﹣1中，當點E在AB的延長線上時，

在Rt△BCE中，CE＝，BC＝2，

∴BE＝＝＝1，

∴AE＝AB+BE＝5，

∵＝，

∴BD＝＝．

②如圖3﹣2中，當點E在線段AB上時，

BE＝＝＝1，AE＝AB-BE =4﹣1＝3，

∵＝，

∴BD＝，

綜上所述，滿足條件的BD的長為或．