Question

【題目】已知，正方形ABCD，∠EAF＝45°，

（1）如圖1，當點E，F分別在邊BC，CD上，連接EF，求證：EF＝BE+DF；

（2）如圖2，點M，N分別在邊AB，CD上，且BN＝DM，當點E，F分別在BM，DN上，連接EF，請探究線段EF，BE，DF之間滿足的數量關系，并加以證明；

（3）如圖3，當點E，F分別在對角線BD，邊CD上，若FC＝2，則BE的長為　 　．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）EF2＝BE2+DF2 ；理由見解析；（3）

【解析】

（1）如圖1中，將△ADF繞點A順時針旋轉90°，得△ABG，想辦法證明△EAG≌△EAF（SAS）．

（2）結論：EF2＝BE2+DF2，將△ADF繞點A順時針旋轉90°，得△ABH，（如圖2）證明過程跟（1）類似，證得△EAH≌△EAF，把EF轉化到EH，然后利用BN＝DM證明四邊形BMDN為平行四邊形得∠ABE＝∠FDM，得∠EBH＝∠ABH+∠ABE＝∠ADF+∠MDN＝90°，由EH2＝BE2+BH2得EF2＝BE2+DF2．

（3）作△ADF的外接圓⊙O，連接EF、EC，過點E分別作EM⊥CD于M，EN⊥BC于N（如圖3）．想辦法證明EF＝FC，即可推出封門村嗎，證明EN＝CM即可．

（1）證明：如圖1中，將△ADF繞點A順時針旋轉90°，得△ABG，

∴△ADF≌△ABG，

∴AF＝AG，DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，

∵正方形ABCD，

∴∠D＝∠BAD＝∠ABE＝90°，AB＝AD，

∴∠ABG＝∠D＝90°，即G、B、C在同一直線上，

∵∠EAF＝45°，

∴∠DAF+∠BAE＝90°﹣45°＝45°，

∴∠EAG＝∠BAG+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝45°，

即∠EAG＝∠EAF，

∴△EAG≌△EAF（SAS），

∴EG＝EF，

∵BE+DF＝BE+BG＝EG，

∴EF＝BE+DF．

（2）結論：EF2＝BE2+DF2，

理由：將△ADF繞點A順時針旋轉90°，得△ABH，（如圖2）

∴△ADF≌△ABH，

∴AF＝AH，DF＝BH，∠DAF＝∠BAH，∠ADF＝∠ABH，

∵∠EAF＝45°，

∴∠DAF+∠BAE＝90°﹣45°＝45°，

∴∠EAH＝∠BAH+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝45°，

即∠EAH＝∠EAF，

∴△EAH≌△EAF（SAS），

∴EH＝EF，

∵BN＝DM，BN∥DM，

∴四邊形BMDN是平行四邊形，

∴∠ABE＝∠MDN，

∴∠EBH＝∠ABH+∠ABE＝∠ADF+∠MDN＝∠ADM＝90°，

∴EH2＝BE2+BH2，

∴EF2＝BE2+DF2，

（3）作△ADF的外接圓⊙O，連接EF、EC，過點E分別作EM⊥CD于M，EN⊥BC于N（如圖3）．

∵∠ADF＝90°，

∴AF為⊙O直徑，

∵BD為正方形ABCD對角線，

∴∠EDF＝∠EAF＝45°，

∴點E在⊙O上，

∴∠AEF＝90°，

∴△AEF為等腰直角三角形，

∴AE＝EF，

∴△ABE≌△CBE（SAS），

∴AE＝CE，

∴CE＝EF，

∵EM⊥CF，CF＝2，

∴CM＝ CF＝1，

∵EN⊥BC，∠NCM＝90°，

∴四邊形CMEN是矩形

∴EN＝CM＝1，

∵∠EBN＝45°，

∴BE＝EN＝ ．

故答案為：