Question

【題目】在四邊形ABCD中，AB=AD，BC=CD．
（1）如圖1，請連接AC，BD，求證：AC垂直平分BD；

（2）如圖2，若∠BCD=60°，∠ABC=90°，E，F分別為邊BC，CD上的動點，且∠EAF=60°，AE，AF分別與BD交于G，H，求證：△AGH∽△AFE；

（3）如圖3，在（2）的條件下，若 EF⊥CD，直接寫出 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：如圖1中，連接BD、AC．

∵AB=AD，

∴點A在線段BD的垂直平分線上，

∵CB=CD，

∴點C在線段BD的垂直平分線上，

∴AC是線段BD的垂直平分線，

即AC垂直平分線段BD．

（2）解：如圖2中，將△ABE繞點A逆時針旋轉120得到△ADM．連接AC交BD于O．

∵B、D關于AC對稱，

∴∠ABC=∠ADC=90°，

∵∠BCD=60°，

∴∠BAD=120°，

∵∠EAF=60°，

∴∠BAE+∠DAF=∠DAF+∠DAM=60°，

∴∠FAE=∠FAM，

∵∠ADM=∠ABE=90°=∠ADF，

∴F、D、M共線，

∵FA=FA，AE=AM，

∴△FAE≌△FAM，

∴∠AFE=∠AFM，

∵∠CAD=∠CAB=60°=∠EAF，

∴∠GAO=∠DAF，

∵∠AGO+∠GAO=90°，∠AFD+∠FAD=90°，

∴∠AGO=∠ADF，

∴∠AGH=∠AFE，∵∠GAH=∠FAE，

∴△AGH∽△AFE．

（3）解：如圖3中，連接AC交BD于O，作HM⊥AD于M．

∵EF⊥CD，

∴∠EFD=90°，

由（2）可知∠AFD=∠AFE=∠AGO=45°，

∵∠ADF=90°，

∴AD=DF，設HM=AM=a，則DH=2a，DM= a，

在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°，AD=（1+ ）a，

∴CD=BD= AD=（3+ ）a，

在Rt△AHD中，∵∠ADH=30°，AD=（1+ ）a，

∴AO=OG= AD= a，OD= OA= a，

∴OH=OD﹣DH= a﹣2a= a，

∴GH=OG+OH= a，

∴ = = ．

【解析】（1）利用垂直平分線的判定定理及兩點確定一條直線可證出；（2）通過旋轉構造全等三角形，即△FAE≌△FAM，進而得出∠AFE=∠AFM，∠GAH=∠FAE，證出相似；（3）利用（2）的結論得出∠ADF=90°，AD=DF，設出參數HM=AM=a，運用三角函數定義，用a的代數式分別表示出BD，GH，可求出比值.
【考點精析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質和銳角三角函數的定義的相關知識點，需要掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方；銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數才能正確解答此題．