Question

【題目】如圖，△ABC中，AB＝AC，以AC為直徑的⊙O交BC于點D，點E為AC延長線上一點，且∠BAC＝2∠CDE．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若cosB＝，CE＝2，求DE．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）DE＝4

【解析】

（1）根據圓周角定理得出∠ADC=90°，按照等腰三角形的性質和已知的2倍角關系，證明∠ODE為直角即可；

（2）通過證得△CDE∽△DAE，根據相似三角形的性質即可求得．

（1）如圖，連接OD，AD，

∵AC是直徑，

∴∠ADC＝90°，

∴AD⊥BC，

∵AB＝AC，

∴∠BAC=2∠CAD＝2∠BAD，

∵∠BAC＝2∠CDE．

∴∠CDE＝∠CAD，

∵OA＝OD，

∴∠CAD＝∠ADO，

∵∠ADO+∠ODC＝90°，

∴∠ODC+∠CDE＝90°

∴∠ODE＝90°

又∵OD是⊙O的半徑∴DE是⊙O的切線；

（2）∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴∠ACB=∠B，

∴cos∠ACB=cosB＝

∴AC＝3DC，設DC＝x，則AC＝3x，

∴，

∵∠CDE＝∠CAD，∠DEC＝∠AED，

∴△CDE∽△DAE，

∴，即

∴DE＝4