Question

【題目】已知矩形ABCD，AB＝10，BC＝13，點P為邊AD上一動點，點A’與點A關于BP對稱，連結A’C，當△A’BC為等腰三角形時，AP的長度為（）

A.2B.C.2或D.2或

Answer 1

【答案】C

【解析】

①如圖1，當A′B=A′C時，過A′作A′M⊥BC于M反向延長A′M交AD于N，則MN⊥AD，得到MN垂直平分BC和AD，根據軸對稱的性質得到AB=A′B=10，∠PA′B=∠A=90°，根據勾股定理得到A′M=，根據相似三角形的性質即可得到結論；②當A′B=BC時，這種情況不存在；③如圖2，當A′C=BC=13時，過A′作A′M⊥BC于M反向延長A′M交AD于N，則MN⊥AD，過C作CH⊥A′B于H，由勾股定理得到CH=，根據三角形的面積公式得到A′M=，根據相似三角形的性質即可得到結論．

解：∵△A′BC為等腰三角形，

∴①如圖1，當A′B=A′C時，過A′作A′M⊥BC于M反向延長A′M交AD于N，

則MN⊥AD，

∴MN垂直平分BC和AD，

∵BC=13，

∴BM=AN=，

∵點A′與點A關于BP對稱，

∴△ABP≌△A′BP，

∴AB=A′B=10，∠PA′B=∠A=90°，

∴A′M=，

∴A′N=MN-A′M=，

∵∠PA′N+∠A′PN=∠PA′N+∠BA′M=90°，

∴∠A′PN=∠BA′M，

∵∠PNA′=∠A′MB=90°，

∴△A′PN∽△BA′M，

∴，

∴，

∴A′P=，

∴AP=A′P=，

②當A′B=BC時，

∵A′B=AB=10，

∴這種情況不存在；

③如圖2，當A′C=BC=13時，

過A′作A′M⊥BC于M反向延長A′M交AD于N，則MN⊥AD，過C作CH⊥A′B于H，

∴BH=×10=5，

∴CH=，

∴A′M=，

∴A′N=，BM=，

由①知，，

∴，

∴A′P=AP=2，

綜上所述，AP的長度為2或；

故選：C．