Question

【題目】已知拋物線C1：y＝ax2經過(－1，1)

(1) C1的解析式為___________，頂點坐標為___________，對稱軸為___________

(2) 如圖1，直線l：y＝kx＋2k－2經過定點P，過P的另一直線交拋物線C1于A、B兩點．當PA＝AB時，求A點坐標

(3) 如圖2，將C1向下平移h（h＞0）個單位至C2，M(－2，b)在C2圖象上，過M作設MD、ME分別交拋物線于D、E．若△MDE的內心在直線y＝b上，求證：直線DE一定與過原點的某條定直線平行

Answer 1

【答案】 y＝x2 (0，0) y軸

【解析】試題分析：（1）把點的坐標代入拋物線解析式可求得a的值，則可求得拋物線解析式，可求得其頂點坐標和對稱軸；
（2）由直線l解析式可求得P點坐標，設A（x1，y1）、B（x2，y2），由PA=AB和聯立直線和拋物線解析式，可求得A的坐標；
（3）過點M作直線l∥x軸，過點D作DF⊥l于F，過點E作EG⊥l于G，設D（x1，x12-h）、E（x2，x22-h），由相似三角形的性質可求得x1+x2=4，設直線DE解析式為y=kx+b，把D、E坐標代入可求得k=x1+x2=4，可證得結論．

試題解析：

（1）∵拋物線C1：y=ax2經過（-1，1），
∴a=1，
∴拋物線解析式為y=x2，
∴頂點坐標為（0，0），對稱軸為y軸，
故答案為：y=x2；（0，0）；對稱軸為y軸； y＝x2，(0，0)，y軸;

(2) 當x＝－2時，y＝－2

∴P(－2，－2)

設A(x1，y1)、B(x2，y2)

∵PA＝PB

∴－2＋x2＝2x1 ①

聯立，整理得x2－kx－2k＋2＝0

∴x1＋x2＝k ②，x1x2＝－2k＋2 ③

由①得， ，代入②③得，

∴A(， )、(， )

(3) 過點M作直線l∥x軸，過點D作DF⊥l于F，過點E作EG⊥l于G

設D(x1，x12－h)、E(x2，x22－h)

∵△MDF∽△MEG

∴，得x1＋x2＝4

設直線DE的解析式為y＝kx＋b

∴，得k＝x1＋x2＝4

∴直線DE一定與過原點的直線y＝4x平行.