Question

【題目】等腰△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點 P 為平面內一點．

(1)如圖 1，當點 P 在邊 BC 上時，且滿足∠APC＝120°，求的值；

(2)如圖 2，當點 P 在△ABC 的外部，且滿足∠APC+∠BPC＝90°，求證：BP＝AP；

(3)如圖 3，點 P 滿足∠APC＝60°，連接 BP，若 AP＝1，PC＝3，直接寫出BP 的長度．

Answer 1

【答案】(1)2;(2)見解析;(3) 2或．

【解析】

（1）由∠BAC＝120°，AB＝AC，推出∠B＝∠C＝30°，由∠APC＝120°，推出∠PAC＝∠C＝30°，推出PC＝PA，∠PAB＝90°，推出PB＝2PA，可得 PB＝2PC解決問題；

如圖 2中，將線段AP繞點 A順時針旋轉120°得到線段AF，連接PF， BF，BF交 PC于點 H．想辦法證明PB＝PF即可解決問題；

（3）分兩種情形分別求解即可解決問題.

（1）如圖1中，∵∠BAC＝120°，AB＝AC，

∴∠B＝∠C＝30°，

∵∠APC＝120°，

∴∠PAC＝∠C＝30°，

∴PC＝PA，∠PAB＝90°，

∴PB＝2PA，

∴PB＝2PC，

∴＝2；

(2)如圖2中，將線段AP繞點A順時針旋轉120°得到線段AF，連接PF，BF，BF交PC于點H，

∵∠BAC＝∠PAF＝120°，

∴∠PAC＝∠BAF，

∵AB＝AC，AF＝AP，

∴△ABF≌△ACP（SAS），

∠APC＝∠AFB，

設∠APC＝α，則∠AFB＝α，∠PFB＝30°+α，∠BPC＝90°﹣α

∵∠PHB＝∠HPF+∠PFH＝（30°﹣α）+（30°+α）＝60°，

∴∠PBH＝180°﹣（90°﹣α﹣60°）＝30°+α，

∴∠PBF＝∠PFB，

∴PB＝PF，

在△PAF中，易知PF＝PA，

∴PB＝PA；

（3）①如圖3﹣1中，當點P在△ABC外部時，將線段AP繞點A順時針旋轉 120°得到線段AF，連接PF，BF，

則△ABF≌△ACP（SAS），

∴∠AFB＝∠APC＝60°，BF＝PC＝3，

∵∠AFP＝30°，

∴∠BFP＝90°，

∵PA＝AF＝1，∠PAF＝120°，

∴PF＝，

∴PB＝＝2；

②如圖3﹣2中，當點P在△ABC內部時，將線段AP繞點A逆時針旋轉120° 得到AH，連接PH，HC．作HM⊥PC于M，

則△BAP≌△CAH（SAS），

∴PB＝CH，

∵∠PAH+∠APC＝120°+60°＝180°，

∴AH∥PC，

∴∠AHP＝∠HPM＝30°，

∴HM＝PH＝，

∴PM＝HM＝，

∵PC＝3，

∴CM＝PM＝，

∵HM⊥PC，

∴HC＝PH＝ ，

∴PB＝，

綜上所述，滿足條件的 PB 的值為 2或．