Question

【題目】在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.

(1)當直線MN繞點C旋轉到圖甲的位置時，試說明：①△ADC≌△CEB；②DE=AD＋BE；

(2)當直線MN繞點C旋轉到圖乙的位置時，試說明：DE=AD－BE；

(3)當直線MN繞點C旋轉到圖丙的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系，并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（）證明見解析；（3）AD、DE、BE所滿足的等量關系是DE=BE－AD(或AD=BE－DE，BE=AD＋DE等)理由見解析.

【解析】試題分析：（1）由∠ACB=90°，得∠BCE＋∠ACD=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.則∠ADC=∠CEB=90°，根據等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE.，易得

Rt△ADC≌Rt△CEB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE=DC+CE=BE+AD．
（2）根據等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得△ADC≌△CEB,得到AD=CE，DC=BE，所以DE=CE-CD=AD-BE．
（3）DE、AD、BE具有的等量關系為：DE=BE-AD．證明的方法與（2）相同．

試題解析：(1)①∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCE=90°，

而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，

∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，

∴∠ACD=∠CBE.

在△ADC和△CEB中,

∴△ADC≌△CEB(AAS)．

②∵△ADC≌△CEB，

∴CE=AD，CD=BE，

∴DE=CE＋CD=AD＋BE；

(2)∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，

∴∠ACD=∠CBE.又∵AC=BC，

∴△ADC≌△CEB(AAS)，

∴CD=BE.AD=CE，

∴DE=CE－CD=AD－BE；

(3)當MN旋轉到圖丙的位置時，AD、DE、BE所滿足的等量關系是DE=BE－AD(或AD=BE－DE，BE=AD＋DE等)．

∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，

∴∠ACD=∠CBE.

∵AC=BC，

∴△ACD≌△CBE(AAS)，

∴AD=CE，CD=BE，

∴DE=CD－CE=BE－AD.