Question

已知一個二次函數的圖象為拋物線C，點P（1，-4）、Q（5，-4）、R（3，0）在拋物線C上．
（1）求這個二次函數的解析式．
（2）我們知道，與y=kx+b（即kx-y+b=0）可以表示直線一樣，方程x+my+n=0也可以表示一條直線，且對于直線x+my+n=0和拋物線y=ax²+bx+c（a≠0），方程組

x+my+n=0 y=ax2+bx+c

的解（x，y）作為點的坐標，所確定的點就是直線和拋物線的公共點，如果直線L：x+my+n=0過點M（1，0），且直線L與拋物線C有且只有一個公共點，求相應的m，n的值．

Answer 1

分析：（1）先設函數解析式為：y=ax²+bx+c，把三點的坐標值代入函數解析式，利用待定系數法可求出函數解析式．
（2）把（1，0）代入一次函數解析式，可先求出n的值，那么解有一次函數與二次函數組成的方程組，得到關于y的二次方程，因為只有一個交點，所以△=0，即可求出m的值．

解答：解：（1）y=-x²+6x-9．
（2）直線l為：x+my-1=0，
∵直線L與拋物線C有且只有一個公共點
∴

x+my-1=0 y=-x2+6x-9

，有且只有一解．
∴由x+my-1=0得x=1-my，（3）
把（3）代入二次函數中得：y=-（1-my）²+6（1-my）-9，
整理得：m²y²+（4m+1）y+4=0，
于是由△=（4m+1）²-4•m²•4=0，
∴m=-

1

8

，
故：當m=-

1

8

，n=-1時，直線l為：x+

1

8

y-1=0與拋物線C：y=-x²+6x-9有且只有一個公共點．

點評：本題利用了待定系數法求函數解析式，以及解方程組，還有一元二次方程根的判別式等知識．