Question

已知：如圖，直線y=kx+b與x軸交于點A，且與雙曲線y=

m

x

交于點B（4，2）和點C（n，-4）． 
（1）求直線y=kx+b和雙曲線y=

m

x

的解析式；
（2）根據圖象寫出關于x的不等式kx+b＜

m

x

的解集；
（3）點D在直線y=kx+b上，設點D的縱坐標為t（t＞0）．過點D作平行于x軸的直線交雙曲線y=

m

x

于點E．若△ADE的面積為

7

2

，請直接寫出所有滿足條件的t的值．

Answer 1

分析：（1）先把點B的坐標代入反比例函數y=

m

x

求出m的值，故可得出反比例函數的解析式，再把C點坐標代入反比例函數的解析式即可求出n的值，用待定系數法求出直線y=kx+b的解析式即可；
（2）直接根據兩函數圖象的交點即可求出x的取值范圍；
（3）由于DE的位置關系不能確定，故應分點D在點E的右方與點D在點E的左方兩種情況進行討論．

解答：解：（1）∵雙曲線y=

m

x

經過點B（4，2），
∴2=

m

4

，解得m=8．
∴雙曲線的解析式為y=

8

x

．
∵點C（n，-4）在雙曲線y=

8

x

上，
∴-4=

8

n

，n=-2．
∵直線y=kx+b經過點B（4，2），C（-2，-4），
則

2=4k+b -4=-2k+b

  解得

k=1 b=-2

∴直線的解析式為y=x-2．

（2）由函數圖象可知x＜-2或0＜x＜4直線y=x-2的圖象在反比例函數圖象的下方，故x＜-2或0＜x＜4；

（3）∵點D在直線y=x-2上，且點D的縱坐標為t（t＞0），
∴D（t+2，t），
∵DE∥x軸，點E在雙曲線y=

8

x

上，
∴E（

8

t

，t），
當點D在點E的右方，即如圖1所示時，
S_△ADE=

1

2

（t+2-

8

t

）•t=

7

2

，解得t=3或t=-5（舍去）；
當點D在點E的左方，即如圖2所示時，
S_△ADE=

1

2

（

8

t

-t-2）•t=

7

2

，解得t=

2

-1或t=-1-

2

（舍去）；
故t=3或

2

-1．

點評：本題考查的是反比例函數綜合題，熟知用待定系數法求一次函數及反比例函數的解析式是解答此題的關鍵．