Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+2x+c經過點A（0，3），B（-1，0），請解答下列問題：

（1）求拋物線的解析式；

（2）拋物線的頂點為點D，對稱軸與x軸交于點E，連接BD，求BD的長．

（3）點F在拋物線的對稱軸上運動，是否存在點F，使△BFC的面積為4，如果存在，求出點F的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）2；（3）（1，2）或（1，-2）．

【解析】

（1）利用待定系數法求拋物線解析式；

（2）把（1）的解析式配成頂點式得到D點坐標，然后兩點間的距離公式計算BD的長；

（3）先利用對稱性確定C點坐標，設F（1，m），根據三角形面積公式得到（3+1）|m|=4，然后解絕對值方程求出m即可得到點F的坐標．

（1）把A（0，3），B（-1，0）代入y=ax2+2x+c得，即得，

∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+3；

（2）∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，

∴D（1，4），

∴BD==2；

（3）存在．

∵拋物線的對稱性為直線x=1，B（-1，0），

∴C（3，0），

設F（1，m），

∵△BFC的面積為4，

∴（3+1）|m|=4，

∴|m|=2，解得m=2或m=-2，

∴點F的坐標為（1，2）或（1，-2）．