Question

【題目】數學課上，潘老師給出如下定義:如果一個三角形有一邊上的高線等于這條邊的一半，那么稱這個三角形為“垂美三角形”，這條邊稱為這個三角形的“垂美邊”.

概念理解:

(1)如圖①，已知∠A＝90°，AB＝AC，請證明等腰Rt△ABC一定是“垂美三角形”.

探索運用:

(2)已知等腰△ABC是“垂美三角形”，請求出頂角的度數.

能力提升：

(3)如圖②，在直角坐標系中，點A為x軸正半軸上動點，在反比例函數的圖象上是否存在點B，使△OAB是“垂美三角形”，且OA，OB均為“垂美邊”，若存在，請求出點B的坐標.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)頂角為30°，90°或150°；(3)存在點B1(，1)、B2(-，-1)，使△OAB是“垂美三角形”，且OA，OB均為“垂美邊

【解析】

過點A作AH⊥BC于H，根據等腰三角形的三線合一即可求證；

分三種情況求∠BAC的度數：①若AB＝AC，BC是“垂美邊”； ②若BA＝BC，BC是“垂美邊”； ③若CA＝CB，BC是“垂美邊”

(3) 當△OAB是“垂美三角形”，且OA，OB均為“垂美邊”，設△ABC的邊OA、OB上的高分別記為ha、hb，則由“垂美三角形”的定義可知，ha=OA， hb=OB.根據面積相等，得出OA=OB, ∠AOB的度數為30°或150°. 設B（m，）即可得出B點坐標

(1)證明：如圖，過點A作AH⊥BC于H.

∵AB＝AC，

∴H是BC中點，

∵∠BAC＝90°，

∴AH＝BC，

∴等腰Rt△ABC是“垂美三角形”.

(2)①如圖，若AB＝AC，BC是“垂美邊”，過點A做AH⊥BC于H.

則AH＝BH＝CH，且AH⊥BC，

∴∠B＝∠C＝45°，

∴∠BAC＝90°；

②如圖，若BA＝BC，BC是“垂美邊”，過點A做AH⊥BC于H，

則BC＝2AH＝AB，且AH⊥BC，

∴∠B＝30°；

③如圖，若CA＝CB，BC是“垂美邊”，過點A做AH⊥BC交BC的延長線于H，

則BC＝2AH＝AC，且AH⊥BC，

∴∠ACD＝30°，從而∠ACB＝150°.

綜上所述，頂角為30°，90°或150°.

(3)當△OAB是“垂美三角形”，且OA，OB均為“垂美邊”，設△ABC的邊OA、OB上的高分別記為ha、hb，則由“垂美三角形”的定義可知，ha=OA， hb=OB.

而S△ABC=OA ha=OA hb，

∴OA=OB.

由(2)可知，∠AOB的度數為30°或150°.

設B（m，）則由“垂美三角形”的定義有：=OA，從而OA2=.

又OB2=m2+，則有OA=OB可得： ，解得m=.

故存在點B1(，1)、B2(-，-1)，使△OAB是“垂美三角形”，且OA，OB均為“垂美邊”.